Jasir Asani, född den 19 maj 1995 i Nordmakedoniens huvudstad Skopje, inledde sin A-lagskarriär i FK Vardar där han även spelade ungdomsfotboll. Debuten i Nordmakedoniens högstaliga Prva Liga skedde i den fjärde omgången av säsongen 2013/14 då de regerande mästarna FK Vardar ställdes mot FK Horizont Turnovo (0–2) inför 3 000 åskådare på Stadion Kukuš i Strumica den 25 augusti 2013. Jasir Asani inledde på bänken i bortamatchen under managern Blagoja Milevskis ledning och han ersatte Miroslav Jovanoski i den 84:e matchminuten. Efter inhopp i ytterligare fem ligamatcher var det den 15 mars 2014 dags för den första seriematchen från start i FK Vardar då de ställdes mot FK Rabotnički (1–2) inför 4 000 åskådare på Arena Filip II i Skopje. Jasir Asani svarade även för sitt första mål i matchen då han gav bortalaget ledningen i den 37:e matchminuten. Han svarade för sammanlagt sju ligamål på sina tolv spelade matcher, varav sex från start, i Prva Liga då FK Vardar slutade på femte plats i tabellen, sex poäng efter seriesegrarna FK Rabotnički. I hemmamötet med FK Napredok (6–0) den 30 mars 2014 svarade Jasir Asani för tre mål. Övriga tre ligamål under säsongen kom borta mot FK Makedonija Gjorče Petrov (2–2) och hemma mot KF Renova (5–1) där han svarade för två av målen.

Under säsongen 2014/15 spelade Jasir Asani 26 matcher, varav 20 från start, i Prva Liga och han svarade för fem seriemål och två målgivande passningar. Det första målet för säsongen svarade han för i bortamötet med FK Metalurg (4–1) den 31 augusti 2014 och han svarade även för två mål både hemma mot FK Metalurg (3–1) och hemma mot FK Rabotnički (2–2). FK Vardar blev mästare för åttonde gången genom tiderna då man slutade tre poäng före FK Rabotnički. I den inhemska cupen föll FK Vardar mot KF Renova på bortamål (3–3) och Jasir spelade båda matcherna samt svarade för 1–1-målet i det första hemmamötet som vanns med 3–1.

Säsongen 2015/16 svarade han för tre mål och en målgivande passning på 15 spelade matcher, varav tolv från start, då hans FK Vardar återigen vann Prva Liga, fem poäng före tvåan KF Shkëndija. Jasir Asanis mål kom borta mot FK Sileks (3–0), hemma mot FK Bregalnica Štip (2–1) och hemma mot KF Shkëndija (1–0). Han spelade även en match i kvalet till Uefa Champions League då man mötte APOEL (0–0) i den andra kvalomgången då man åkte ut på bortamål efter sammanlagt 1–1. Säsongen 2016/17 blev Jasir Asanis sista i FK Vardar då man för tredje säsongen i rad vann den inhemska ligan och han bidrog med två mål på sina 13 matcher, varav tre från start. Hans mål kom i hemmamötena med FK Pobeda (2–1) och FK Metalurg (4–1).

Under sommaren 2016 spelade han i FK Vardars båda möten med NK Dinamo Zagreb i den andra kvalomgången till Uefa Champions League då man föll med sammanlagt 3–5 mot det kroatiska laget. Under senhösten spelade han även i FK Vardars två cupmöten med FK Metalurg då man efter sammanlagt 8–2, varav ett mål av Jasir Asani, avancerade i den inhemska cupturneringen.

Mitt under säsongen blev han utlånad från FK Vardar till FK Shkupi och debuten skedde hemma mot FK Rabotnički (1–1) inför 4 000 åskådare på Stadion Čair i Skopje den 26 februari 2017 då han under managern Ardijan Nuhijis ledning startade matchen och byttes ut i den 89:e matchminuten. Jasir Asani spelade i debutmatchen fram Dimitrija Lazarevski till hans nickmål som betydde 1–1 i den 69:e matchminuten. Det första målet kom den 12 mars 2017 då FK Shkupi tog emot KF Renova (3–2) inför 3 000 åskådare på Stadion Čair. Jasir Asani blev stor matchhjälte efter att han svarat för 1–1-målet i den 37:e matchminuten, spelat fram Besar Iseni till 2–2-målet och själv svarat för segermålet i den 70:e matchminuten. Det blev 13 matcher, varav tolv från start, då FK Shkupi slutade på åttonde plats i Prva Liga och han svarade för tre mål och fyra målgivande passningar. Det tredje ligamålet gjorde han hemma mot FK Bregalnica Štip (3–0) i slutet av säsongen. Åttondeplatsen i ligan innebar att FK Shkupi tvingades kvala för att hänga kvar i högstaligan och man ställdes mot FK Novaci. Jasir Asani spelade bägge kvalmatcherna då FK Shkupi vann med sammanlagt 7–2.

Under sommaren 2017 flyttade Jasir Asani till FK Pobeda från staden Prilep. Debuten skedde i premiären av Prva Liga då man tog emot FK Pelister (1–2) inför 2 000 åskådare på Stadion Mogila den 13 augusti 2017. Jasir inledde på bänken under managern Zoran Shterjovskis ledning och ersatte Aleksandar Nedanoski inför den andra halvleken. Efter två ligamatcher med FK Pobeda i augusti 2017 lämnade Jasir Asani Nordmakedonien och flyttade till FK Partizani från Albaniens huvudstad Tirana. Debuten skedde i den åttonde omgången av den albanska högstaligan, Kategoria Superiore, då FK Partizani tog emot KS Flamurtari Vlorë (0–1) inför 2 000 åskådare på Stadiumi Selman Stërmasi i Tirana den 29 oktober 2017. Jasir Asani inledde på bänken under den italienske managern Mark Iulianos ledning innan han i den 80:e matchminuten ersatte Milan Basrak.

Det första seriemålet för FK Partizani kom hemma mot FC Kamza (2–1) den 4 februari 2018 då han svarade för 1–0-målet i den sjätte matchminuten och följde 17 minuter senare upp med 2–0. Det blev 29 seriematcher för Jasir Asani under debutsäsongen, varav 26 från start, då FK Partizani slutade på femte plats i tabellen, 19 poäng efter seriesegrarna KF Skënderbeu Korçë. Han svarade för fyra mål och sex målgivande passningar. De övriga två ligamålen under säsongen kom borta mot KF Luftëtari (2–2) och hemma mot KF Vllaznia Shkodër (2–0). Han startade under säsongen även fyra matcher för FK Partizani i den inhemska cupen då man slog ut KF Pogradeci (4–0) och Flamurtari FC (2–2) på bortamål. I returmötet med Flamurtari FC blev Jasir Asani stor matchhjälte då han svarade för 2–1-målet som tog FK Partizani vidare i den 81:a matchminuten.

Säsongen 2018/19 svarade Jasir Asani för åtta mål och fem målgivande passningar på sina 33 spelade matcher i Kategoria Superiore då FK Partizani blev mästare för 16:e gången genom tiderna. Han svarade för två mål i hemmamötet med KF Teuta (3–0) samt ett mål vardera hemma mot KF Kastrioti (1–0), borta mot KF Teuta (1–1), borta mot FC Kamza (1–0), borta mot FK Kukësi (1–1), hemma mot KF Skënderbeu Korçë (2–0) och borta mot Flamurtari FC (3–0). Jasir Asani spelade även två matcher för FK Partizani i kvalet till Uefa Europa League då man i juli 2018 slogs ut av NK Maribor med sammanlagt 0–3. Det blev även tre matcher, varav två från start, i den inhemska cupen.

Jasir Asani lämnade FK Partizani i december 2019 och klubben låg då efter 15 spelade omgångar av säsongen 2019/20 på fjärde plats i tabellen, två poäng efter FK Kukësi. Jasir Asani spelade tolv av matcherna, varav nio från start, och svarade för tre mål. Målen kom borta mot KF Vllaznia Shkodër (3–1), hemma mot KF Luftëtari (2–0) och hemma mot KF Laçi (1–0). Under sommaren 2019 spelade han även fyra matcher i kvalet till Uefa Champions League samt Uefa Europa League, varav tre från start, då man först slogs ut av Qarabağ FK (0–2) i UCL och sedan av FC Sheriff (1–2), det moldaviska laget som därefter ställdes mot AIK. Han spelade även en match i den albanska cupen samt i Supercupen mot FK Kukësi den 18 augusti 2019 då FK Partizani vann med 4–2 efter förlängning där tre sena mål av Brian Brown fällde avgörandet. I Supercupen inledde Jasir Asani på bänken, men ersatte Jurgen Bardhi i den 49:e matchminuten vid ställningen 1–1.

Den 17 december 2019 meddelade AIK Fotboll att man var överens med FK Partizani och den då 24-årige ytterforwarden Jasir Asani om ett låneavtal av spelaren som gällde från januari till slutet av juni 2020. Asani startade upp tillsammans med den övriga truppen när verksamheten inleddes i januari och han spelade i AIK:s första träningsmatch för året då man den 18 januari 2020 tog emot IF Karlstad Fotboll (2–1) på Skytteholms IP i Solna. Han kom då in till starten av den andra halvleken och i den 72:a matchminuten svarade han för segermålet efter att ha fått en passning från vänsterkanten av Erick Otieno. Tävlingsdebuten för AIK skedde i den första omgången av gruppspelet i Svenska cupen 2019/20 den 23 februari 2020 då AIK tog emot Jönköpings Södra IF (2–2) inför 4 923 åskådare på Skytteholms IP. Asani var uttagen i startelvan av chefstränaren Rikard Norling och spelade hela matchen i tröja nummer 21 samt noterades för ett skott på mål.

Han startade även de två efterföljande cupmatcherna och i hemmamötet med Kalmar FF (3–1) den 9 mars 2020 svarade han för sitt första tävlingsmål för AIK då han, frispelad av Enoch Kofi Adu, fastställde slutresultatet i den 79:e matchminuten och i och med segern kvalificerade sig AIK för kvartsfinal i cupen.

Efter att ha spelat några landskamper för Nordmakedonien på U19- till U21-nivå fick Jasir Asani den 18 mars 2016 albanskt medborgarskap, då hans föräldrar är från Albanien, och han debuterade för Albaniens U21-landslag den 22 januari 2016 då man mötte Saudiarabien (1–1) och han svarade för Albaniens mål i matchen.