Dino Beširović, född måndagen den 31 januari 1994 på Hospital São Teotónio i portugisiska Viseu, växte upp i en fotbollsfamilj. Hans fotbollsspelande far Nail Beširović flyttade i januari 1992 från Jugoslavien till Portugal, för att därefter tillbringa resten av sin karriär i republiken på den Iberiska halvön. Två år efter flytten från det krigsdrabbade hemlandet till Portugal så föddes sonen Dino. Dino började som sjuåring 2001 att spela fotboll i Leixões SC från Matosinhos och han tillbringade två år i klubben innan familjen flyttade vidare till SC Beira-Mar i kuststaden Aveiro. Att det blev ungdomsfotboll i Leixões SC och SC Beira-Mar berodde på att hans far spelade för klubbarnas representations-lag. 2004 flyttade familjen till Bosnien-Hercegovina och Dino spelade sju säsonger i NK Slaven Živinice.

Efter slutförd skolgång 2012 flyttade han ensam tillbaka till Portugal och började spela med U19-laget i Académico de Viseu FC. Han gick omgående vidare upp till A-laget som säsongen 2012/2113 spelade i Segunda Divisão Portugues. Den efterföljande säsongen tillbringade han på lån i UD Sampedrense som spelade i Divisão de Honra, och som två gånger tidigare vunnit serien. Det blev 27 tävlingsmatcher för honom i UD Sampedrense och två mål.

Under sommaren 2014 flyttade han tillbaka till Bosnien-Hercegovina och hösten 2014 inleddes med NK Priluk som spelade i tredjedivisionen. Mitt under säsongen 2014/2015 skrev Dino på ett kontrakt med FK Radnik Bijeljina som spelade i den bosniska högstaligan, m:tel Premijer liga Bosne i Hercegovine. Den 28 februari 2015 blev det debut för honom i ligan då FK Radnik i den 16:e omgången mötte NK Široki Brijeg (1–2) på Novi Gradski Stadion i Ugljevik. Dino Beširović inledde på bänken under ledning av den serbiske tränaren Slavko Petrović och ersatte slovenen Taulant Kadrija vid ställningen 1–2 i den 71:a matchminuten. FK Radnik Bijeljina slutade på tionde plats under Dinos första säsong i klubben, fem poäng och målskillnad ifrån nedflyttningsstrecket. Det blev 13 seriematcher, varav 12 från start, för honom och han svarade för ett ligamål, borta mot FK Slavija (4–0) den 15 mars 2015 då han svarade för 3–0-målet med kvarten kvar.

2015/2016 slutade FK Radnik Bijeljina på sjunde plats i tabellen, 24 poäng efter seriesegrarna HŠK Zrinjski Mostar, och högerfotade Dino Beširović spelade 22 ligamatcher under säsongen och svarade för två mål. Målen kom borta mot FK Sarajevo (1–2) den 10 april 2016 och hemma mot FK Rudar Prijedor (2–0) den 30 april 2016. I den inhemska cupturneringen avancerade FK Radnik till final efter att ha slagit ut FK Radnički Lukavac (3–1) i kvartsfinalen och NK Široki Brijeg (2–2 och vidare på bortamål) i semifinalen. I finalen ställdes man mot FK Sloboda Tuzla. Dino Beširović startade den första finalen på bortaplan som slutade 1–1, och han drog på sig sitt andra gula kort på stopptid och fick lämna planen, men han blev inte avstängd i returen på hemmaplan en vecka senare, den 18 maj 2016. FK Radnik vann den andra finalmatchen med 3–0 med Dino spelandes hela matchen och man blev därmed cupmästare för första gången. Titeln innebar även att FK Radnik var kvalificerade till kvalspelet i Uefa Europa League 2016/2017. I finalmotståndaren FK Sloboda Tuzla spelade Sulejman Krpić som ett knappt år senare skulle spela sex tävlingsmatcher för AIK. Det blev sammanlagt 30 tävlingsmatcher för honom.

FK Radnik ställdes i Uefa Europa League under sommaren 2016 mot bulgariska PFK Beroe Stara Zagora, men efter 0–0 på bortaplan föll man med 0–2 i returen efter två sena mål strax efter att Dino Beširović bytts ut. Dino startade bägge matcherna i UEL. FK Radnik slutade säsongen 2016/2017 på fjärde plats i grundserien och kvalificerade sig därmed till Mästerskapsserien där man ändade upp på sjätte och sista plats. I den inhemska cupen slogs de regerande mästarna FK Radnik i mars 2017 ut med sammanlagt 2–4 i kvartsfinalen av FK Željezničar Sarajevo. Fyra månader senare mötte AIK just FK Željezničar i Uefa Europa League och efter 0–0 i Sarajevo vann AIK med 2–0 i returen på Friends Arena. Dino Beširović spelade sammanlagt 36 tävlingsmatcher under säsongen och svarade för ett mål i ligan, hemma mot HŠK Zrinjski Mostar (1–2) den 20 maj 2017. Säsongen 2017/2018 skulle bli Dino Beširović offensivt starkaste i FK Radnik, då klubben slutade sexa i grundserien och slutligen femma i Mästerskapsserien. Dino spelade 30 tävlingsmatcher och svarade för fyra mål och fyra målgivande passningar. Målen kom hemma mot Borac Banja Luka (3–0) den 18 februari 2018, borta mot FK Sarajevo (1–3) den 29 april 2018, hemma mot FK Željezničar Sarajevo (1–0) den 5 maj 2018 efter att han svarat för segermålet i den 84:e matchminuten och hemma mot NK Široki Brijeg (3–3) den 20 maj 2018.

Intresset var efter säsongen stort för mittfältarens signatur och den 19 juni 2018 meddelade den kroatiska storklubben HNK Hajduk Split att man skrivit ett treårsavtal med Dino Beširović och han blev spelklar då transferfönstret öppnade. Debuten för Majstori s mora skedde i den första omgången av Prva Hrvatska nogometna liga då Hajduk Split mötte NK Osijek (1–4) på bortaplan den 29 juli 2018. Dino spelade hela matchen på Stadion Gradski vrt i tröja nummer 18 under ledning av den kroatiske tränaren Željko Kopić. I den efterföljande matchen ställdes Hajduk Split den 2 augusti 2018 mot PFK Slavia 1913 Sofia (3–2) i Uefa Europa League 2018/2019. Dino startade matchen, men var tvungen att lämna planen tidigt efter att det främre korsbandet gått av och en längre konvalescens och rehabilitering följde efter knäoperationen. I mars 2019 var han tillbaka på fotbollsplanen och han spelade sju matcher, varav sex från start, med Hajduk Splits reservlag. I maj 2019 gjorde han även två korta inhopp i ligan med A-laget.

Säsongen 2019/2020 blev det två inhopp i ligan och spel i två cupmatcher för honom med Hajduk Split. Han satt även på bänken i 15 tävlingsmatcher under juli till december 2019. I början av 2020 lånades Dino Beširović ut till den ungerska klubben Mezőkövesdi SE som spelade i högstaligan OTP Bank Liga. Debuten skedde den 8 januari då Beşiktaş JK (0–2) stod för motståndet i en vänskapsmatch och Dino spelade den andra halvleken. Tävlingsdebuten gjorde Dino den 25 januari 2020 då Mezőkövesdi tog emot Kisvárda FC (1–0) hemma på Mezőkövesdi Városi Stadion. Dino startade matchen i tröja nummer 6 under ledning av den ungerske tränaren Attila Kuttor och byttes ut i den 89:e matchminuten. Det blev en fjärdeplats i tabellen för Mezőkövesdi och Dino Beširović spelade i 22 tävlingsmatcher, varav 19 i startelvan, och han svarade för fem mål i ligan.

I början av maj 2020 aktiverade Mezőkövesdi den köpoption som fanns i låneavtalet med Hajduk Split och skrev ett kontrakt med Dino Beširović. Den 6 juni 2020 möttes Mezőkövesdi och Budapest Honvéd FC i cupfinalen inför 10 000 åskådare på nybyggda Puskás Aréna i den ungerska huvudstaden. Dino Beširović var uttagen i startelvan och spelade hela matchen som vanns med 2–1 av Honvéd efter ett segermål i den 56:e matchminuten. Mezőkövesdis bästa chans att kvittera kom med tio minuter kvar av ordinarie tid då Budu Zivzivadze nickade en högerhörna från Dino Beširović, men bollen gick strax över ribban.

2020/2021 spelade Dino i 33 tävlingsmatcher och noterades för sex gjorda ligamål när Mezőkövesdi slutade på åttonde plats i tabellen. 2021/2022 blev en tung säsong för Mezőkövesdi då man slutade tia i tabellen, endast två poäng från nedflyttning. Dino spelade 30 tävlingsmatcher, varav 20 från start, och svarade för fyra mål. Säsongen 2022/2023 blev hans fjärde och sista i Mezőkövesdi då man slutade på sjunde plats i tabellen och det blev sammanlagt 35 tävlingsmatcher, varav 30 från start, och nio mål för honom i tröja nummer 10. De åtta ligamålen gav en delad niondeplats i skytteligan för OTP Bank Liga. På fyra säsonger i den ungerska högstaligan blev det spel i 106 matcher, varav 90 från start, och 7 898 spelade minuter för Dino Beširović. Han noterades i dessa matcher för 23 mål, 19 gula kort och noll röda kort.

Dino spelade under åren i Ungern även 14 matcher i MOL Magyar Kupa, den inhemska cupturneringen. I nio av cupmatcherna var han uttagen i startelvan och han svarade för ett mål och noterades för två gula kort.

Den 28 januari 2018 debuterade Dino Beširović i Bosnien-Hercegovinas A-landslag då de mötte USA (0–0) inför 11 161 åskådare på StubHub Center i Carson, Kalifornien. Dino inledde på bänken i tröja nummer 18 under ledning av den kroatiske förbundskaptenen Robert Prosinečki och ersatte lagkaptenen Haris Medunjanin i den 72:a matchminuten, 19 minuter efter att Medunjanin skjutit en straffspark i ena stolpen. Debuten för Dino skedde 20 år efter att hans far Nail gjorde sin landslagsdebut och enda landskamp. Det har sedan debuten blivit spel i ytterligare tre A-landskamper för Dino; ett inhopp mot Mexiko (0–1) i Texas 2018, i startelvan mot Montenegro (0–0) i Sarajevo 2021 och ett inhopp mot Danmark (0–2) i Brøndby 2021.